星形四角化菱形十二面體

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星形四角化菱形十二面體
星形四角化菱形十二面體
(按這裡觀看STL模型)
類別 艾雪立體
星形菱形十二面體
星形多面體
48
72
頂點 26
歐拉特徵數 F=48, E=72, V=26 (χ=2)
面的種類 簡單多面體英语Simple polyhedron
Escher's Solid facets.svg
等腰三角形

複雜多面體

Complex Eschers Solid facets.svg
非凸六邊形
康威表示法 k(h=0.76)KjC[1]
對稱群 Oh, B3, [4,3], *432
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
特性 面可遞

幾何學中,星形四角化菱形十二面體又稱為第一種星形菱形十二面體First stellation of rhombic dodecahedron),是一種星形菱形十二面體,菱形十二面體的星形化體之一,也是空間填充多面體之一[2]。在藝術領域中,這種形狀又稱為艾雪立體(Escher's Solid)[3][4],其出現於莫里茲·柯尼利斯·艾雪的作品《瀑布》英语Waterfall_(M._C._Escher)和一個研究艾雪作品《群星》的研究中。

性質[编辑]

星形四角化菱形十二面體共有三種形式,第一種為菱形十二面體的星形化體,共有12個面,面的幾何中心位置與菱形十二面體相同。第二種為簡單多面體英语Simple polyhedron,由48個等腰三角形組成,可以視為在菱形十二面體的每個面上疊上一個菱形錐來構成。星形四角化菱形十二面體共有26個頂點和72條邊,在26個頂點中,其中有6個頂點度為8, 、8個頂點度為6和12個度為4的頂點。在72條邊中有48條長邊和24條較短的邊。對應的欧拉示性数26 + 48 − 72 = +2。最後一種是3個雙四角錐的複合體[6][7]

Complex Eschers Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg Escher's Solid Rhombic Dodecahedron with 3 Colors.svg
第一種菱形十二面體的星形化體 48個等腰三角形組成的簡單多面體英语Simple polyhedron 3個扁八面體的複合體

此外,星形四角化菱形十二面體可以獨立填滿三維空間[8][9]

星形四角化菱形十二面體的骨架圖為四角化菱形十二面體圖[10]

Graph of the disdyakis dodecahedron.svg

體積與表面積[编辑]

一個最短邊邊長為a的星形四角化菱形十二面體,其表面積A、體積V為[10]

若一個最長邊邊長為單位長,則其體積為4[11],若最長邊的邊長為a,則體積為:[12]

面的組成[编辑]

星形四角化菱形十二面體作為一個簡單多面體英语Simple polyhedron時由48個全等的等腰三角形組成;作為一個星形多面體時由12個非凸六邊形組成;作為一個複合立體時由3個雙四角錐組成[7]

Escher's Solid facets.svg
等腰三角形
Complex Eschers Solid facets.svg
非凸六邊形
Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg
48個等腰三角形組成的簡單多面體英语Simple polyhedron
Complex Eschers Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg
第一種菱形十二面體的星形化體

若每個等腰三角形底邊為1,則兩側邊的邊長為[11]

頂點坐標[编辑]

若一個星形四角化菱形十二面體最長邊長為單位長且幾何中心位於原點,則其頂點坐標為[13]

歷史[编辑]

1957年多爾曼·露可(Dorman Luke)在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體[14]。1961年,星形四角化菱形十二面體被艾雪描繪在其作品《瀑布》英语Waterfall_(M._C._Escher)[15]。1986年 ,阿瑟斯·洛布(Arthur Loeb)發表了一篇針對艾雪作品《群星》的研究,其探討了星形四角化菱形十二面體的性質[16],然而《群星》中所出現的形狀不是星形四角化菱形十二面體而是三複合正八面體[17]。後續的研究指出《瀑布》英语Waterfall_(M._C._Escher)《群星》中出現的2個相似的形狀是不同的形狀,前者是星形四角化菱形十二面體,後者是三複合正八面體[7]。1971年吉本直貴發現了兩種可以從立方體重新拼湊成星形菱形十二面體的結構,並發表了一種可以變形成星形四角化菱形十二面體的魔方[18]

相關多面體與鑲嵌[编辑]

星形四角化菱形十二面體可以將菱形十二面體透過四角化變換來完成,其等價於將菱形十二面體每個面替換成一個頂點和四個三角形[19],而菱形十二面體是一個由立方體透過康威變換的結果。其他也是由立方體透過康威變換的形狀有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
Rhombic dodecahedron with 3 colors.svg Disdyakis dodecahedron 3color.png Three flattened octahedra compound.png Great Rhombihexacron with 3 Colors.svg
菱形十二面體 四角化菱形十二面體 星形四角化菱形十二面體 反平行四邊形二十四面體

星形四角化菱形十二面體是一種星形菱形十二面體,其他星形菱形十二面體[2]

星形化次數 0 1 2 3
名稱 菱形十二面體 艾雪立體 (未獲命名)
圖像 Rhombic Dodecahedron Before Cutting.svg Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg The second stellation of the rhombic dodecahedron.svg Stellation of the rhombic dodecahedron (third second removed).svg The third stellation of the rhombic dodecahedron.svg
星狀圖 Rhombic dodecahedron stellation diagrams.svg Escher's solid stellation diagrams.svg Second stellation of rhombic dodecahedron stellation diagrams.svg Stellation of the rhombic dodecahedron (third second removed) stellation diagrams.svg Third stellation of rhombic dodecahedron stellation diagrams.svg

星形四角化菱形十二面體堆砌[编辑]

星形四角化菱形十二面體可以獨立填滿三維空間[8][20],其所形成的幾何結構稱為星形四角化菱形十二面體堆砌。

北炯立體[编辑]

哲養·北炯曾在其論文中探討星形十二面體[21],但不慎將以五邊形組成的正十二面體之星形化體與菱形組成的菱形十二面體之星形化體搞混了。後來莫雷帝將其描述為在正十二面體的面上加入五角錐組成的立體[22],即小星形十二面體。 漢士·史梅斯特(Hans Smessaert)等人才以星形四角化菱形十二面體的結構完成北炯最初探討的議題[23]。後來在部分文獻中,這種立體被稱為北炯立體(Béziau's solid)或北炯的星形菱形十二面體(Béziau's stellar rhombic dodecahedron)。

Dodekaederstern.png
莫雷帝描述的北炯立體
Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg
漢士·史梅斯特描述的北炯立體

三複合正八面體[编辑]

三複合正八面體是一個外觀與星形四角化菱形十二面體十分相似的形狀,皆出現於艾雪的木版畫中。[7][24]

四角化菱形十二面體[编辑]

星形四角化菱形十二面體與四角化菱形十二面體皆為菱形十二面體透過四角化變換後的結果,差別只在四角化時在面上加入之菱形錐的錐高不同,四角化菱形十二面體為加入的菱形錐[19],且其錐高不超過外接球的結果。

Disdyakis dodecahedron 3color.png
四角化菱形十二面體
Three flattened octahedra compound.png
星形四角化菱形十二面體

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Chris (Kit) Wallace. Escher's Solid. kitwallace.co.uk. [2019-09-09]. 
  2. ^ 2.0 2.1 George Hart. Stellations. georgehart.com. [2019-09-06]. (原始内容存档于2018-11-30). 
  3. ^ Berger, Jonathan Bernard, The Design and Modeling of Periodic Materials with Novel Properties (PDF), UC Santa Barbara, 2014 
  4. ^ Escher, Maurits Cornelis, The Info List-MC Escher, TheInfoList.com 
  5. ^ 5.0 5.1 Silva, Ederson Marcelino da; 等, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros (PDF), Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2018 
  6. ^ Silva, Ederson Marcelino da, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros,[5] 2018: p.60
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid 页面存档备份,存于互联网档案馆, Livio Zefiro, University of Genova.
  8. ^ 8.0 8.1 Ioana Mihaila. Tessellations from Group Actions and the Mystery of Escher’s Solid (PDF). [2013-05-09]. (原始内容存档于2013-06-27). 
  9. ^ US patent 9370765,Peter Haaland,「Space-filling polyhedral sorbents」,发表于2016-06-21,发行于2016-06-21,指定于Innerproduct Partners Fund Lp , US 2016/0096164 A1 (PDF). [2019-09-09]. Suitable regular shaped space-filling polyhedra includ, but are not limited to, an acute golden rhombohedron, ...... an Escher's solid, ......and a truncated octahedron. 
  10. ^ 10.0 10.1 埃里克·韦斯坦因. Escher's Solid. MathWorld. 
  11. ^ 11.0 11.1 David I. McCooey. Other Solids: Escher's Solid. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  12. ^ Silva, Ederson Marcelino da, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros,[5] 2018: p.85
  13. ^ Data of Escher's Solid. dmccooey.com. (原始内容存档于2019-09-05). 
  14. ^ Luke, D. Stellations of the rhombic dodecahedron. The Mathematical Gazette. 1957, 337: 189–194. 
  15. ^ Bool, F. H.; Kist, J. R.; Locher, J. L.; and Wierda, F., M. C. Escher: His Life and Complete Graphic Work, New York: Harry N. Abrams, Inc.: p.323, 1992年9月1日, ISBN 9780810981133 
  16. ^ Arthur Loeb, "Polyhedra in the Work of M.C. Escher," in Coxeter et al. (eds.), M.C. Escher: Art and Science, 1986.
  17. ^ George Hart. The Polyhedra of M.C. Escher. [2019-09-05]. (原始内容存档于2019-01-15). 
  18. ^ Yoshimoto Cube No. 1 | MoMA Design Store. Museum of Modern Art Store. [20 August 2018]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  19. ^ 19.0 19.1 Hexakis Octahedron. Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. [2019-09-03]. (原始内容存档于2015-01-21). 
  20. ^ Alan Holden, Shapes, Space and Symmetry, Columbia University Press, NY, 1971.
  21. ^ Béziau, Jean-Yves. New light on the square of oppositions and its nameless corner. Logical Investigations. 2003, 10 (2003): 218––232. 
  22. ^ Moretti, Alessio. The critics of paraconsistency and of many-valuedness and the geometry of oppositions. Logic and Logical Philosophy. 2010, 19 (1-2): 63––94. 
  23. ^ Smessaert, Hans and Demey, Lorenz, Béziau’s contributions to the logical geometry of modalities and quantifiers, The road to universal logic (Springer), 2015: 475––493 
  24. ^ Coxeter, H. S. M., A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work, The Mathematical Intelligencer, 1985, 7 (1): 59–69, doi:10.1007/BF03023010  Coxeter's analysis of Stars is on pp. 61–62.

外部連結[编辑]