星形四角化菱形十二面體堆砌

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星形四角化菱形十二面體堆砌
HC R1-1stellation.png
類型 堆砌
維度 3
星形四角化菱形十二面體
Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg
等腰三角形
對稱群 D3v[1]
特性 胞可遞

幾何學中,星形四角化菱形十二面體堆砌英語:Stellated rhombic dodecahedral honeycomb)是位於三維空間的一種密鋪結構或堆砌體,由星形四角化菱形十二面體獨立堆積而成[2][3][4]。雖然這種幾何結構中的每個都全等,但由於其組成不是半正多面體或其對偶,因此並不屬於28種半正密鋪。不過這種幾何結構仍然存在胞可遞、邊可遞和點可遞等特性。由於這種幾何結構由非凸的星形多面體組成[5],部分文章將其稱為複雜的三維填充結構[6]

性質[编辑]

在星形四角化菱形十二面體堆砌中,每個頂點周圍皆有有6個星形四角化菱形十二面體,且全由星形四角化菱形十二面體組成,因此其具有胞可遞英语cell-transitive的特性,這意味著,這幾何結構上的任意兩個面A和B,透過旋轉或鏡射這個幾何結構,使A移動到B原來的位置時,其胞仍然佔據了相同的空間區域[7]。同時,星形四角化菱形十二面體堆砌也存在邊可遞英语edge-transitive的特性。由於這個幾何結構的每個頂點都是6個星形四角化菱形十二面體的公共頂點,因此也存在點可遞英语vertex-transitive的特性。

星形四角化菱形十二面體堆砌可以視為菱形錐堆砌與菱形十二面體堆砌的部分組合。星形四角化菱形十二面體可透過將菱形十二面體分割成12個菱形錐重新排列組成四角化菱形十二面體。因此整體結構可以視為菱形十二面體堆砌中四角化菱形十二面體與鄰近的四角化菱形十二面體對應菱形錐堆砌的其中一個菱形面組成星形四角化菱形十二面體。[8][9]當中共用的部分代表著施瓦茨D曲面的局部結構[10]

R1-stel.gif
菱形十二面體分割成12個菱形錐重組為星形四角化菱形十二面體
Half oblate octahedrille cell.png
菱形錐堆砌的其中一個菱形錐的位置
HC R1.png
菱形十二面體堆砌的局部
HC R1-1stellation.png
星形四角化菱形十二面體堆砌的局部
Cubes-R1 ani.gif
菱形十二面體堆砌、立方體堆砌的漸變過程

胞的組成[编辑]

星形四角化菱形十二面體堆砌的星形四角化菱形十二面體,其由48個面、72條邊和26個頂點組成。[11]

Escher's Solid Rhombic Dodecahedron Stellation.svg

在這個堆砌結構中,其胞的晶格向量為:[12]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Ellery B. Golos; Daniel D. Joseph. Patterns in mathematics. Prindle, Weber & Schmidt. 1981. ISBN 978-0-87150-301-5. 
  1. ^ Maurice Starck, three non convex space-filling polyhedra (Eduard Bobik), examples of space filling polyhedra, Site de Mathématiques, ac-noumea.nc, October 2017 
  2. ^ Ioana Mihaila. Tessellations from Group Actions and the Mystery of Escher’s Solid (PDF). [2013-05-09]. (原始内容存档于2013-06-27). 
  3. ^ George Hart. Stellations. [2019-09-05]. (原始内容存档于2018-11-30). 
  4. ^ Joyce Frost, Peg Cagle. An Amazing, Space-Filling, Non-regular Tetrahedron. Park City Mathematics Institute Geometrical Concepts from Constructions, Models, and Investigations. 
  5. ^ de Graaf, Joost and van Roij, René and Dijkstra, Marjolein. Dense regular packings of irregular nonconvex particles. Physical Review Letters (APS). 2011, 107 (15): 155501. 
  6. ^ Exploring a complex space-filling shape (PDF). Exploratorium. (原始内容 (PDF)存档于2010-12-16). 
  7. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  8. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 168. ISBN 0-486-23729-X. 
  9. ^ Gailiunas, Paul. Some unusual space-filling solids. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2004, 88 (512): 230–241. The well-known packing of stellated rhombic dodecahedra produced by transforming Figure 6 
  10. ^ Gailiunas, Paul. "Helical Petrie Polygons" (PDF). Bridges Finland Conference Proceeding. archive.bridgesmathart.org: 135––140. 
  11. ^ David I. McCooey. Other Solids: Escher's Solid. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  12. ^ PH03: Escher's Solid, "Dense Regular Packings of Polyhedra" (PDF), Utrecht University Faculty of Science